L’A. a commencé ce livre en 1977 et l’a achevé en 1999. C’est dire qu’il apparaît comme une somme, inégalée à ce jour, sur les transformations du concept d’exactitude en géométrie et sur la résolution des problèmes à travers le concept de construction, à laquelle l’algèbre apporte une grande dynamique. Il se compose de deux grandes parties de longueur égale, la première portant sur la tradition de résolution des problèmes avant Descartes et la seconde traitant de la redéfinition de l’exactitude chez ce dernier. Une troisième partie, remise à un ouvrage ultérieur, portera sur les courbes de 1650 à 1750 et sur l’émancipation de l’analyse géométrique de son contexte géométrique. En revanche, ce volume décrit le rôle de l’analyse algébrique comme outil de la géométrie. L’ensemble est construit méthodiquement et étudie les « opinions and arguments of mathematicians concerning the acceptability of geometrical procedures, in particular procedures of construction » (p. 6), l’exactitude même étant entendue comme la qualité qui rend ces procédures acceptables par les mathématiciens.

Le point de départ de la première partie est fourni par la publication de Pappus par Commandino en 1588. L’A. examine les méthodes traditionnelles de construction géométrique valables au xvie siècle, puis, au ch. 5, les procédés analytiques de découverte des solutions, qui montrent une grande diversité (p. 117). Les ch. 6 à 9 exposent les difficultés de fusion de l’arithmétique, la géométrie, l’algèbre et l’analyse, la question de l’usage des nombres en géométrie (Regiomontanus et Stevin), ainsi que l’analyse de Viète. L’A. précise au demeurant que l’obstacle majeur à l’application de l’algèbre à la géométrie, à savoir l’illégitimité de l’usage des nombres dans la quantité continue, a été surmonté non pas par un renversement de point de vue qui proposerait la reconnaissance de cette légitimité, mais plutôt par la dissociation de l’algèbre d’avec les questions numériques (p. 143). Les chapitres 9 à 13 sont une série de monographies (Clavius, Viète, Kepler, Molther et Fermat), permettant de conclure la première partie par une évaluation de l’état des connaissances au moment de l’intervention de Descartes.

La seconde partie traite alors de Descartes en deux temps, avant la Géométrie (ch. 15-19) et dans la Géométrie même (ch. 20-27). Avec beaucoup de détails, l’A. suit les travaux cartésiens associant algèbre et construction (Lettre à Beeckman de 1619, Regulae, approche du problème de Pappus en 1632), jusqu’au troisième essai de 1637, en marquant bien les changements de perspective. D’un point de vue historique, on souscrira sans réserve à la conclusion selon laquelle, bien que chez Descartes il y ait en un certain sens équivalence entre la courbe et son équation, il ne s’agit pas pour autant de géométrie analytique au sens actuel (p. 426). Un des mérites de ce bel et important ouvrage est de rendre relativement homogènes les différents styles de mathématique pratiqués depuis la Renaissance, en adoptant toujours une traduction des énoncés en notation moderne, c’est-à-dire cartésien ; cela pourrait faire courir un risque d’anachronisme, mais il est heureusement surmonté.

Frédéric de Buzon