Auteur : David Rabouin

Vincenzo DE RISI, Leibniz on the Parallel Postulate and the Foundations of Geometry : The Unpublished Manuscripts, Basel, Boston, Springer, 2016. vi + 195 p.

Dès sa remarquable thèse publiée chez Springer en 2007 (sous le titre Geometry and Monadology), Vincenzo De Risi avait déjà insisté sur le fait qu’un lieu de la pensée de Leibniz où métaphysique et mathématiques communiquent le plus clairement est la géométrie – et non, comme on aurait tendance à le penser, l’analyse infinitésimale, l’ars combinatoria ou le calcul algébrique. Il en avait tiré une relecture éclairante de l’attachement de Leibniz à la géométrie euclidienne, aspect surprenant pour tous ceux – et ils sont nombreux – qui persistent à lire le projet d’une analysis situs à travers le prisme anachronique de la moderne topologie. S’il s’agit bien de se donner les moyens d’analyser l’espace au travers d’un pur système de relations situationnelles et si Leibniz met régulièrement cette approche sous l’égide d’une géométrie « qualitative » qui prend pour la première fois l’espace comme objet, ce programme n’en reste pas moins contraint par les limites d’une géométrie euclidienne qu’il s’agit de retrouver et de fonder. De Risi avait notamment insisté sur la manière dont cet ancrage euclidien trouvait une motivation forte dans certaines questions philosophiques, au premier chef le lien entre similitude des formes et perception des monades. Sur cette route, Leibniz – et De Risi après lui – ne pouvait manquer de rencontrer la question du fameux « postulat des parallèles » et de sa démonstration.

Le présent ouvrage suit les réflexions leibniziennes à ce sujet depuis les années parisiennes jusqu’au Calculi situs fundamenta de 1715. Il ne demande pas de connaissance préalable en histoire des mathématiques, puisqu’une première partie se charge de retracer l’histoire des réflexions sur le postulat des parallèles depuis l’Antiquité grecque (où certains auteurs le considéraient déjà comme non-évident) jusqu’aux contemporains de Leibniz comme Clavius, Borelli ou Wallis. La seconde partie décrit à grands traits les points fondamentaux de l’épistémologie leibnizienne de la géométrie en résumant les thèses du précédent ouvrage, tandis que la troisième partie s’attarde plus spécifiquement sur les différentes tentatives pour démontrer le postulat des parallèles. Une quatrième partie s’occupe enfin de la suite de cette histoire chez les auteurs du XVIIIe siècle et du début du XIXe siècle (jusqu’à la découverte des géométries non-euclidiennes). Le tiers restant du livre est consacré à l’édition et à la traduction anglaise des passages de Leibniz relevant du thème.

Un grand mérite de l’analyse de De Risi est d’insister sur la manière dont la question s’inscrit dans le dispositif épistémologique général de Leibniz, et notamment dans sa volonté de démontrer les axiomes à partir des définitions et des propositions identiques. Il reconstitue à cette fin le lien de l’axiome au choix de certaines définitions comme celle de la ligne droite ou des parallèles, avec une nette préférence pour celle qui s’exprime en termes d’équidistance plutôt que de non-incidence. Ceci permet d’expliquer certaines évolutions, puisqu’un des moments importants de la réflexion leibnizienne va provenir du constat qu’une ligne équidistante à une autre n’est pas nécessairement du même type (constat qu’il fait dans le cadre de son étude des sections coniques, mais qui se généralise ensuite dans le cadre de l’étude des enveloppes de courbes). Ainsi Leibniz perçoit-il la circularité de nombre d’arguments avancés avant lui qu’il avait d’abord repris à son compte et qui supposaient que l’équidistance à une droite garantissait la production d’une ligne droite.

Le principal trait des recherches de Leibniz sur le postulat des parallèles, le plus parlant d’un point de vue philosophique, mais aussi le plus surprenant, est lié à la justification à laquelle il parvient finalement : après avoir vainement tenté d’élaborer des démonstrations reposant sur le seul principe de contradiction, Leibniz se résout en effet à le justifier par un « principe supérieur, à savoir le principe de raison déterminante » (In Euclidis prôta, 1712 ; GM V, 202-203 ; les passages concernant les parallèles sont traduits par l’auteur aux pages 169-177). Si la chose est surprenante, c’est qu’elle fait intervenir le principe de raison au cœur de la nécessité géométrique, alors que nombre de textes bien connus opposent la nécessité géométrique, redevable du seul principe de non-contradiction, aux déterminations architectoniques, relevant du principe de raison suffisante. La formulation la plus célèbre de cette opposition est d’ailleurs donnée à la même époque dans la correspondance avec Clarke : « Le grand fondement des Mathematiques est le Principe de la Contradiction, ou de l’Identité […]. Et ce seul principe suffit pour demonstrer toute l’Arithmetique et toute la Geometrie, c’est à dire tous les Principes Mathematiques. Mais pour passer de la Mathematique à la Physique, il faut encor un autre Principe, comme j’ay remarqué dans ma Theodicée, c’est le Principe du besoin d’une Raison suffisante » (Second écrit § 1, GP VII, 355-356. C’est moi qui souligne).

Comment concilier ces points de vue ? De Risi commente dans son troisième chapitre la difficile question des limites du « logicisme » apparemment impliqué par la réduction (en un nombre fini d’étapes) de tous les énoncés mathématiques aux « identiques ». Il restitue avec nuance les différentes interventions du principe de raison (p. 53-54) et mentionne notamment un texte des années 1680, l’Introductio ad encyclopediam arcanam, où Leibniz présente un des axiomes d’Euclide sur l’addition des quantités comme en relevant. La position de l’auteur, toujours très prudente, est de bien distinguer entre les interventions du principe de perfection, lié au choix divin (y compris sur des questions géométriques), et le principe de raison proprement dit, tel qu’il apparaît dans la démonstration de l’axiome ; par ailleurs, il résiste à donner un rôle trop important au texte, finalement isolé dans le corpus, des In Euclidis prôta. Pour autant, il fait remarquer que cet isolement se justifie très bien d’un point de vue moderne du fait que le postulat des parallèles est précisément une des propriétés qui ne peut pas se dériver des propriétés générales de l’espace (comme l’uniformité, l’isotropie, etc.) : « il est très remarquable, en tout cas, que les deux seules instances de l’emploi du Principe de Raison en géométrie fondent respectivement l’impossibilité d’un espace elliptique et celle d’un espace hyperbolique. Pour un lecteur moderne, il est pratiquement impossible d’éviter de penser que la simple analyse du concept d’espace aurait été suffisante, pour Leibniz, à la détermination de toutes ses propriétés (y compris l’isotropie) à la seule exception de la courbure exacte qui le rend euclidien, elliptique ou hyperbolique ; et qu’un autre principe est alors nécessaire pour choisir parmi ces trois » (p. 100). On pourrait néanmoins compléter cette appréciation en rappelant d’autres textes, que l’auteur connaît bien mais qu’il ne mentionne pas ici, où le principe de raison intervient dans la définition de la ligne droite (voyez les fragments XVII et XVIII édités par Echeverria et Parmentier dans La Caractéristique géométrique, Vrin, 1995, p. 311 et 323). Cela irait dans le même sens puisqu’il s’agit alors d’établir la nécessaire unicité des géodésiques entre deux points, mais cela permettrait peut-être de sortir l’In Euclidis prôta de son magnifique isolement.

David RABOUIN

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Pour citer cet article : David RABOUIN, « Vincenzo DE RISI, Leibniz on the Parallel Postulate and the Foundations of Geometry : The Unpublished Manuscripts, Basel, Boston, Springer, 2016 » in Bulletin leibnizien IV, Archives de Philosophie, tome 81/3, Juillet-septembre 2018, p. 563-639.

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