Auteur : Odile Gilon
Clelia V. Crialesi, Mathematics and Philosophy at the Turn of the First Millenium. Abbo of Fleury on Calculus, London & New York, Routledge, « Global Perspectives on the History of Natural Philosophy », 2025, 210 pages.
L’ouvrage s’appuie sur un impressionnant travail d’érudition pour rompre deux préjugés toujours vivaces, celui de l’absence d’originalité du haut Moyen Âge en termes de mathématique et de physique, et celui d’une réduction de l’arithmétique à un art du calcul. Non seulement l’étude de l’arithmétique pratique appelle celle de son corrélat spéculatif et celle des autres arts du quadrivium, comme l’établit déjà le De arithmetica de Boèce, mais aussi elle est au fondement de réflexions philosophiques et théologiques. Si le rôle essentiel de l’arithmétique dans le développement de la théologie jusqu’au xiie siècle a déjà été bien établi (Irène Caiazzo, David Albertson), il fallait encore déployer les éléments néopythagoriciens structurant cette logique. Venant compléter les études pionnières sur l’œuvre scientifique d’Abbon de Fleury (945-1004), comme celle d’André Van de Vyver, de Ron B. Thomson et, plus récemment, de David Juste, Peter Verbist, Barbara Obrist ainsi que Nadja Germann, l’autrice opère une reconstruction de son Explanatio in Calculo Victorii afin d’en démontrer la profondeur philosophique. L’ouvrage entend ajouter une pierre à l’édifice des études de ces dix dernières années sur le néopythagorisme médiéval, qui peut être défini à partir des éléments énoncés par D. Albertson (Mathematical Theologies, 2014) : (1) les nombres dont traite la mathématique manifestent le divin dans le monde ; (2) les entités mathématiques sont intermédiaires entre le muable et l’immuable ; (3) le divin est associé à l’unité numérique d’où dérive l’entièreté des nombres et des êtres ; (4) les nombres révèlent la structure des êtres et du monde.
L’architecture de l’ouvrage en sept chapitres est claire et équilibrée, et repose elle-même sur deux structures croisées : celle des axes au moyen desquels l’autrice présente l’œuvre d’Abbon (A- Philosophie et théologie, B- Arithmétique et calcul, C- Physique) et celle de l’Explanatio elle-même, reconstruite en modifiant légèrement l’édition critique d’Alison Peden (2003) sous la forme de cinq sections : 1- Prologue, 2- Prémisse théologique, 3- Commentaire de la Praefatio de Victorius, 4- Commentaire des tables de Victorius, 5- Physique. Le livre est doté d’une belle bibliographie et d’un index des noms.
Le premier chapitre dresse le contexte historique et intellectuel dans lequel évolue Abbon, abbé du monastère de Fleury. Sa vaste culture, construite à partir des ouvrages détenus dans la riche bibliothèque du monastère et de ses voyages à Ramsey, Paris, Reims et Orléans, se reflète dans la variété de ses œuvres : Quaestiones grammaticales, De syllogismis hypotheticis, De syllogismis categoricis, Sententia Abbonis de differentia circuli et spere, De duplici ortu signorum, De quinque circulis mundi, Computus vulgaris ou Ephemerida, Dulce ingenium musice, une table numérique connue sous le nom d’« abaque d’Abbo » et l’Explanatio in Calculo Victorii. Cette œuvre s’élabore dans un contexte de réflexions sur l’arithmétique pratique à laquelle Abbon apporte une contribution décisive (chapitre 6), mais aussi sur l’arithmétique spéculative, dont les thèmes permettent d’établir des liens entre mathématique et philosophie propres à conforter l’hypothèse d’un héritage néopythagoricien.
Le chapitre 2 délivre les informations relatives à l’œuvre et à ses sources. L’Explanatio d’Abbon est un commentaire du Calculus de Victorius d’Aquitaine (450), répertoire de tables de multiplication de fractions sur base duodécimale, qui a constitué un outil essentiel dans l’élaboration du calendrier chrétien. S’il semble clair qu’Abbon a pu travailler à partir de plusieurs versions du Calculus, deux hypothèses restent ouvertes : l’introduction de l’œuvre à Fleury par Lupus de Ferrières (ixe s.), élève de Raban Maur, et celle de sa transmission par Columbanus (543-615). Quant à l’Explanatio elle-même, l’édition complète d’A. Peden permet une lecture philosophique plutôt que strictement mathématique de l’œuvre, comme l’y réduisaient implicitement les éditions fragmentaires antérieures.
Le chapitre 3 aborde le premier axe annoncé par l’autrice (Philosophie et théologie) par la prémisse théologique de l’Explanatio (2e section) : l’évocation de Sagesse 11, 21. Celle-ci donne à comprendre que l’arithmétique permet de reconnaître dans les créatures les nombres, poids et mesures et, partant de cette compréhension de la structuration du monde par la rationalité divine, de s’engager dans la recherche de la sagesse. Abbon a pu s’appuyer sur deux traditions. L’œuvre d’Augustin, tout d’abord, regorge de références aux nombres, poids et mesures présentés comme des pensées en Dieu et des manifestations de la rationalité divine dans la création. Le fait qu’Augustin développe cette rationalité mathématique avant la première évocation explicite du verset biblique dans le De Genesi contra Manichaeos, permet à l’autrice de conclure à une influence néopythagoricienne. C’est également à ce courant que se rattache l’autre tradition dont hérite Abbon, celle du De arithmetica de Boèce, ainsi que celle du De statu animae de Claudianus Mamertus (vers 470), abondamment discuté à l’époque carolingienne bien qu’Abbon ne le cite pas explicitement.
Le chapitre 4 est l’un des plus intéressants de l’ouvrage. En marquant clairement l’héritage néopythagoricien, l’autrice s’attelle à une reconstruction de l’hénologie d’Abbon. Dieu est individuum, origine et fin de toutes choses, forme pure de laquelle dérivent les créatures. L’idée d’un Dieu arithmétiquement un d’où fluent l’ensemble des êtres remonte à Nicomaque de Gérase qui a lui-même inspiré Boèce, même si le parallèle entre l’un mathématique et l’unité divine n’est pas aussi manifeste chez ce dernier. C’est pourtant par Boèce que transiteront ces éléments néopythagoriciens au Moyen Âge, notamment chez Jean Scot Érigène, lorsqu’il introduit un raisonnement de type arithmétique dans sa description du flux. La lecture néopythagoricienne du flux dans le De Hebdomadibus, partant de la structure de dérivation des nombres depuis une unité première dans le De arithmetica, est particulièrement intéressante dans la mesure où ce texte a souvent été présenté comme l’une des sources néoplatoniciennes les plus manifestes de la notion de fluxus au Moyen Âge.
L’unité dont procède la multiplicité est l’objet d’étude de toutes les disciplines du quadrivium : considérée en elle-même, elle est l’objet de l’arithmétique ; considérée en rapport avec d’autres quantités, elle est étudiée par la musique ; la grandeur au repos relève de la géométrie ; considérée en mouvement elle relève de l’astronomie. Abbon illustre partiellement ces rapports au moyen d’un diagramme en forme de lambda grec repris du Commentaire au Timée de Calcidius et figurant la dérivation des nombres et des ratios (ou rapports) mathématiques depuis une unité arithmétique première. L’originalité d’Abbon est d’enrichir ce schéma d’une correspondance des ratios avec les intervalles musicaux – dimension qui ajoute à l’héritage de Calcidius celui de Macrobe – et de le présenter comme « argument visuel » (p. 90) de la dérivation des nombres depuis l’unité, et des consonances depuis l’unison. La géométrie peut elle aussi intégrer l’hénologie en raison du lien entre l’unité et le point, ce qu’il semble plus difficile de proposer pour le cas de l’astronomie, effleuré dans l’Explanatio.
Les chapitres 5 et 6 abordent le second axe annoncé (Arithmétique et calcul) et reprennent les commentaires sur la Praefatio et sur les tables de Victorius (3e et 4e sections). Toute unité créée est un tout composé. Les composés créés sont classés selon qu’ils sont naturels ou artificiels, c’est-à-dire indépendants ou dépendants de la volonté humaine. L’intérêt de telles analyses est de montrer que la quantité ne se réduit pas à l’extension ou à la corporéité mais constitue une catégorie numérique bien plus large.
Les composés naturels et artificiels participent à un cycle commun de croissance et décroissance bien que selon des rapports inverses. Ces phases sont illustrées par les exemples micro et macro-cosmiques de l’évolution de la force physique humaine et celle des phases de la lune. L’intérêt d’une telle comparaison cède ici aussi à la cohérence : en effet, les choses artificielles imitent les choses naturelles, comme le montre la réduction des ratios arithmétiques inégaux aux ratios égaux, qui reflètent la réduction de tous les composés naturels à un état primordial (p. 123). Les ratios inégaux sont réductibles à un ratio égal dans la mesure où il a été montré qu’ils en dérivent selon deux ordres. Selon l’ordre descendant, suivant la classification boécienne, les multiples produisent les « superparticuliers » (nombre qui contient entièrement un nombre inférieur et une partie aliquote ou diviseur de celui-ci, comme 3/2 = 1 + ½), qui produisent à leur tour les superpartiens (nombre qui contient entièrement un nombre et une de ses parties qui n’est pas un de ses diviseurs propres, comme 5/3 = 3 + 2/3) ; selon l’ordre ascendant, le multiple produit le multiple, et les autres nombres produisent un nombre contenant n fois le nombre inférieur assorti d’une partie aliquote ou non aliquote.
Le chapitre 6 poursuit l’analyse arithmétique avec les méthodes de calcul. Plusieurs méthodes existent à l’époque d’Abbon, dont certaines sont à la charnière du développement des abaques et du système numérique indo-arabe : le système numérique romain, le système symbolique duodécimal utilisé par Abbon, le calcul à l’aide des doigts et le calcul géométrique (multiplication de figures géométriques entre elles). Les p. 149-151 expliquent, dessins à l’appui, les figures produites avec les doigts pour représenter les dizaines (10 à 90) avec le pouce et l’index, et les unités et les centaines (1 à 9 et 100 à 900) avec tous les autres doigts. Abbon établit également à deux moments de son enseignement la méthode des tables, qui ne constituent pas de véritables abaques dans la mesure où elles ne relèvent pas exactement du système positionnel (système dans lequel la valeur d’un chiffre dépend de sa position).
Abbon développe et perfectionne le système de multiplication de ratios à base 12. L’unité arithmétique a la forme d’un « tout » (axis, symbolisé par la lettre latine I) divisible en 12 parties égales (particulae), qui reçoivent chacune un nom et un symbole en fonction de leur relation au tout. La plus petite partie est l’once (uncia) désignant 1/12, les autres parties venant multiplier l’once ou diviser l’axis (par exemple quadras = 3 onces = 3/12 = axis/4) ou constituant des restes de la soustraction d’une ou de plusieurs onces depuis l’unité première (iabus = 11/12). L’once est elle-même divisible en minutiae également représentées par des symboles particuliers, le calcus étant la plus petite partie (1/2304). Abbon développe à ce propos une méthode plus intuitive de calcul de la multiplication des ratios, qui passe par la conversion de toute partie aliquote en onces. Ainsi, pour multiplier le sextans (2/12) par 10, il faut le convertir en onces = 2 x 1/12, avant de le multiplier par 10 (= 20 onces) afin de pouvoir compter les onces restantes par rapport à l’axis – sachant qu’un axis compte 12 onces, il reste 8 onces correspondant au bisse (2/3).
Le chapitre 7 explore le troisième axe (Physique), auquel était consacrée la 5e section de l’Explanatio. Ce chapitre est l’occasion de conforter la thèse d’une « physique avant la physique (aristotélicienne) » (Charles Burnett). L’autrice défend principalement la contribution d’Abbon au développement d’une physique qualitative et non simplement quantitative. La question évoquée dans l’Explanatio est celle des variations de poids de substances du même type, qui s’explique par l’interaction des qualités physiques influant sur la densité des corps. Bien qu’Abbon ne cite pas explicitement les Problemata physica du pseudo-Aristote et les Saturnalia de Macrobe, et que la circulation de cette œuvre à son époque reste rare (l’enquête menée par l’autrice p. 165-167 sur les manuscrits disponibles à Fleury conclut à l’impossibilité d’en attester l’héritage direct), certains éléments témoignent de son influence, comme l’attention toute particulière accordée aux qualités d’humide et de sec, et aux liquides dans l’étude des variations de qualités comme dans le cas de la présence de lie dans certains liquides (vin, huile, miel), ou le comportement des corps (la physiologie de la femme n’étant pas épargnée dans l’explication).
Le soin apporté dans cet ouvrage à l’analyse de l’Explanatio d’Abbon de Fleury, l’érudition avec laquelle est conduite l’enquête et la reconstruction de son approche philosophique, de même que l’intérêt pour les études contemporaines que constitue la présence de schèmes néopythagoriciens à l’œuvre dans cette pensée du haut Moyen Âge, bien avant l’aetas boetiana et le réveil de la physique au xiiie siècle, font de cet ouvrage un outil important non seulement pour l’étude de l’œuvre d’Abbon, mais aussi pour celle du rôle de l’arithmétique en théologie médiévale.
Odile Gilon
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Pour citer cette recension : Clelia V. Crialesi, Mathematics and Philosophy at the Turn of the First Millenium. Abbo of Fleury on Calculus, London & New York, Routledge, « Global Perspectives on the History of Natural Philosophy », 2025, 210 pages, in Bulletin de philosophie du Moyen Âge XXVII, Archives de philosophie, tome 89/3, Juillet-Septembre 2026, p. 219-255.