Auteur : Claire Schwartz
Richard T. W. Arthur, David Rabouin, Leibniz on the Foundations of the Differential Calculus, Birkhauser, 2025, 304 pages.
Cet ouvrage est composé de deux parties : une sélection de textes de Leibniz traduits en anglais et portant sur les fondements du calcul différentiel, et un essai interprétatif de 160 pages qui la précède précisant et développant un certain nombre de thèses et de résultats déjà publiés à ce propos par les auteurs. Si certains textes sélectionnés sont relativement bien connus, d’autres, les plus nombreux, sont directement traduits à partir des manuscrits de Hanovre récemment édités. L’essai interprétatif en détaille avec précision le sens et le contexte.
Les textes constituant la deuxième partie de l’ouvrage n’ont en effet pas été choisis au hasard, chacun venant étayer des conclusions relatives à la conception leibnizienne de l’infini, qu’il s’agisse de l’infiniment petit ou de l’infiniment grand, de son usage en mathématique ou de son sens métaphysique. À cet égard, ils semblent à première vue dépasser le cadre strict du calcul différentiel, un certain nombre étant antérieurs à la découverte par Leibniz de son algorithme infinitésimal. Or leur analyse vise précisément à établir la profonde unité de la conception leibnizienne de l’infini mathématique dont le calcul différentiel ne serait qu’une des manifestations. Les auteurs s’opposent en effet à l’idée selon laquelle Leibniz se serait détourné de la question du fondement de son calcul, afin d’éviter de rendre raison des contradictions apparentes auxquelles il semble donner lieu et qui suscitèrent diverses critiques ou incompréhensions de la part de ses contemporains, qu’il s’agisse de John Wallis, de Michel Rolle, de Jean Bernoulli, de Pierre Varignon ou plus tard de George Berkeley. Bien au contraire, quelques motifs récurrents normant le recours à des entités infinies et la signification qu’il faut leur attribuer dans divers contextes sont clairement dégagés de l’ensemble de ces textes commentés, témoignant d’une pensée leibnizienne très structurée en ce domaine.
Le deuxième chapitre de l’essai interprétatif décrit ainsi une première étape (1669-1676) de la pensée de Leibniz à l’issue de laquelle ses positions concernant l’infiniment petit se stabilisent. Un principe guidera constamment sa pensée : l’axiome euclidien selon lequel le tout est plus grand que sa partie est inviolable et toujours vrai ; pour cette raison, les raisonnements traitant l’ensemble des entiers naturels ou l’angle de contact comme de véritables quantités sont absurdes dans la mesure où ce rapport du tout à sa partie ne s’y trouve pas respecté. Concernant la question de la composition du continu, il en viendra alors à nier de manière définitive l’existence de minima réels, de quantité inassignable et conçus sur le mode de l’endeavour hobbesien. De telles entités sont contradictoires et ne peuvent donc exister. Il reste alors à expliquer pourquoi Leibniz s’autorise à faire usage en mathématiques d’entités comme celles d’ensembles infinis ou d’infiniment petits : ne devraient-elles pas être bannies en raison de leur caractère contradictoire ? Les auteurs renversent ainsi l’approche parfois adoptée par les lecteurs et interprètes de Leibniz : il ne s’agit pas de savoir si les infinitésimaux auxquels il a recours en mathématiques engagent l’existence métaphysique ou de grandeurs infinitésimales dans la composition du mouvement ou de la matière, mais d’établir la raison pour laquelle il estime pouvoir faire usage en mathématiques de notions contradictoires.
C’est ce que vient éclairer le troisième chapitre consacré à la notion de fictions. Les calculs sur les séries convergentes auxquels le jeune Leibniz s’est appliqué visent en effet à déterminer la valeur de la somme d’un ensemble infini de termes, et permettent d’établir des démonstrations géométriques comme celle de la quadrature de l’hyperbole ou de la quadrature arithmétique du cercle, à laquelle est consacré le quatrième chapitre. Leibniz procède par sommes partielles de différences successives, jusqu’à supposer un dernier terme et une dernière différence. N’est-on pas alors en train de raisonner sur une notion intrinsèquement contradictoire, celle d’un ensemble infini d’éléments doté d’un « dernier terme » ? Les auteurs rappellent alors en quoi le recours à des notions « fausses » ou « absurdes » ou « imaginaires », regroupées parfois sous le terme de fictions, était habituel des mathématiciens, pratique que Leibniz ne manque pas de mentionner lorsqu’il y a lui-même recours. Ce chapitre explicite cette pratique leibnizienne en renvoyant à sa typologie des divers types d’impossibilités. En métaphysique, Leibniz distingue la pure impossibilité, ou contradiction, de l’impossibilité par accident liée à la compossibilité des existants ; en mathématiques, lorsque l’on a affaire à des fictions signifiant des entités contradictoires, il faut distinguer les cas où la contradiction est immédiate de ceux où la contradiction est dérivée de leurs relations aux données du problème dans un contexte particulier ; ces fictions sont, de ce point de vue, équivalentes à des entités linguistiques dont la possibilité dépend du discours dans lequel elles se trouvent insérées.
Le chapitre suivant consacré à la Quadratura arithmetica de 1676, texte redécouvert grâce à son édition par Eberhard Knobloch en 1993, permet d’illustrer un tel usage leibnizien de ce type de fictions dans l’établissement des preuves de ses nouveaux calculs. La voie suivie, bien détaillée dans ce chapitre, consiste en une forme de méthode directe d’exhaustion d’encadrement par différences successives d’une figure curviligne par des espaces rectilignes. La preuve repose alors sur le « principe de différence inassignable » : si la différence entre deux quantités données peut être tenue pour plus petite que toute quantité assignable, alors elle est nulle. Opérer sur des lignes ou des séries infinies prises comme ensembles peut ainsi se faire sans erreur ni contradiction, dans la mesure où ces ensembles sont entendus distributivement et non collectivement. Sans propriété intrinsèque ni nombre propre, ils sont une manière de parler de ce dont il peut toujours y avoir un élément supplémentaire ou plus petit, de sorte que l’erreur ou la différence peut toujours être plus petite que toute valeur donnée. La Quadratura ne se limite pas à ce type de preuves mais les confirme en s’appuyant également sur des réductions à l’absurde, de sorte à établir l’équivalence entre les deux. L’usage de fictions est ainsi pleinement légitimé : évitant tout passage indu à la limite, le calcul ne fait que comparer les différences variables de quantités finies et qui peuvent être rendues inassignables. Plusieurs développements sont alors consacrés à la notion d’infini syncatégorématique, à laquelle Leibniz se réfère à plusieurs reprises pour caractériser cette manière de parler d’entités infinies en mathématique.
Les différents résultats commentés jusqu’ici précèdent l’invention de l’algorithme différentiel mais en contiennent déjà les fondements. C’est la thèse défendue de manière convaincante dans les deux derniers chapitres de cette introduction. Leibniz rend publiques les règles de son calcul dans sa Nova methodus de 1684, suscitant la perplexité de ses contemporains à l’égard des quantités sur lesquelles elles portent et dont le statut ne semblait pas défini, le caractère fini ou infinitésimal des dx n’étant pas clairement établi. La confusion semble entretenue par des textes ultérieurs : dans le Tentamen de 1689, le fait de négliger ces différences dans certaines formules est fondé sur le lemme des incomparables établissant le caractère inassignable de certaines quantités en comparaison d’autres quantités assignables, semblant assimiler les différentielles à des quantités infinitésimales, moindres que toute quantité finie. En revanche, lorsque Leibniz répond à certains de ses objecteurs et entend garantir le caractère bien fondé des quantités sur lesquelles s’appliquent les règles de son calcul, il lui arrive régulièrement de les illustrer par des quantités certes très petites, mais finies, au regard de celles auxquelles elles sont comparées. En interprétant ces textes à la lumière de ceux qui précèdent l’invention du calcul infinitésimal, nous pouvons alors comprendre en quoi ces énoncés, loin de se contredire, traduisent la cohérence et la constance des conceptions leibniziennes. Les dx, comme d’autres fictions mathématiques, doivent toujours être interprétées dans le contexte des problèmes qu’il s’agit de résoudre : pour déterminer exactement les tangentes d’une courbe, elles viennent signifier des entités inassignables, mais elles peuvent être interprétées par ailleurs comme les différences finies d’une série infinie. Les auteurs citent à cet égard un passage du Specimen novum analyseos de 1702 : « Prenons par exemple la série etc. en totalité à l’infini, c’est-à-dire avec et ici, nous pouvons en faire la somme. Dans les séries numériques en effet les différences sont assignables » (trad. M. Parmentier). La plasticité du calcul, et dès lors des descriptions des variables sur lesquelles il opère, s’éclaire ainsi.
Les deux derniers chapitres déploient une série d’analyses relatives à la définition leibnizienne de la quantité, strictement identifiée à la grandeur, à la différence entre ensemble d’éléments discrets et divisibilité du continu, ou entre incomparables et infiniment petits. Leurs conclusions viennent corriger les fausses lectures commises à l’égard du sens et de l’affirmation d’existence des entités impliquées dans les calculs leibniziens, qu’elles proviennent des contemporains de Leibniz ou de ses interprètes actuels, et qu’elles soient internes aux mathématiques – relativement à l’analyse non standard en particulier – ou relatives à l’infini métaphysique. Le dernier chapitre détaille par ailleurs les différentes stratégies employées par Leibniz pour ajuster ses réponses en fonction de ses différents contradicteurs, et notamment vis-à-vis des algébristes comme Rolle, dans le contexte de polémiques devenues publiques au début des années 1700. Tandis que ces mathématiciens souvent qualifiés de cartésiens estimaient que le calcul leibnizien n’était que le déguisement de méthodes algébristes bien fondées, Leibniz entendait leur démontrer que l’algèbre elle-même et la généralité de ses équations supposent en leur fondement le principe de continuité, lui-même conçu comme généralisation du principe de la différence inassignable.
Cet essai interprétatif établit de façon difficilement contestable une cohérence interne des écrits de Leibniz à l’égard de l’infini mathématique, se manifestant par étapes successives tout au long de sa pratique. On ne peut alors s’empêcher de s’interroger sur la raison pour laquelle elle fut si peu comprise par ses contemporains et n’a cessé ensuite susciter de si nombreuses interrogations. Pour les auteurs, cette situation est en grande partie le résultat de circonstances contingentes, relatives aux conditions difficiles de publication et de diffusion. Si c’est en effet le cas, cet ouvrage, mettant à disposition les pièces longtemps manquantes à la résolution de ces questions, constitue une contribution absolument décisive à la compréhension des mathématiques leibniziennes et des fondements de son calcul différentiel en particulier.
Claire Schwartz
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Pour citer cette recension : Richard T. W. Arthur, David Rabouin, Leibniz on the Foundations of the Differential Calculus, Birkhauser, 2025, 304 pages, in Bulletin leibnizien XII, Archives de philosophie, tome 89/3, Juillet-Septembre 2026, p. 165-218.
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Sandra Bella, La (Re)construction française de l’analyse infinitésimale de Leibniz. 1690-1706, Paris, Classiques Garnier, 2022, 548 p.
Cet ouvrage, long de plus de 500 pages, se donne pour objet de restituer la réception française du calcul leibnizien au cours de la courte période s’étendant de 1690 à 1706. À quoi ces dates correspondent-elles ? L’auteure entend prolonger l’étude menée par Pierre Costabel, qui avait choisi d’inscrire dans ce cadre chronologique son travail d’édition d’un certain nombre de manuscrits mathématiques, à l’occasion de la publication des Œuvres complètes de Malebranche chez Vrin dans les années 1960. Ce sont les leçons sur le calcul différentiel et intégral données par Jean Bernoulli au marquis de l’Hospital à partir de 1691 et diffusées ensuite dans le milieu oratorien proche de Malebranche qui constituent le point de départ de cette périodisation ; l’année 1706 correspond à la fin des querelles autour du calcul leibnizien à l’Académie des sciences, lorsque son principal opposant au sein de cette institution, le géomètre M. Rolle, accepta de se déclarer vaincu.
Le choix de faire commencer cette histoire en 1690 plutôt qu’en 1691 a pour fin d’évaluer les méthodes pratiquées par ces savants juste avant leur découverte de l’algorithme leibnizien. À cet égard, l’auteure a recours de manière très pertinente au concept « d’horizon d’attente », forgé par Hans Robert Jauss dans le cadre de la théorie littéraire, et l’applique à ce groupe de savants malebranchistes qui vont être amenés à assurer la promotion de ce nouveau calcul. L’ensemble des analyses très précises déployées tout au cours de l’ouvrage démontre clairement en quoi cette compréhension des résultats leibniziens fut le produit d’un cheminement complexe, faisant fond sur des conceptions préalables, des pratiques partagées qui tout à la fois servirent de terrain favorable à l’adoption du calcul leibnizien et firent par moments obstacle à la reconnaissance de sa véritable nouveauté. S. Bella s’oppose ainsi à une conception trop téléologique et décontextualisée du calcul infinitésimal selon laquelle son essence intemporelle était destinée à se révéler à ceux en situation de le pratiquer ; par cette étude, l’auteure restitue ainsi ce qui constitue les logiques complexes de l’invention mathématique qui est toujours le fait d’acteurs s’interrogeant sur les normes de leur pratique de la démonstration.
La question de la démonstration est en effet au centre de cette étude : dans quelle mesure le calcul a-t-il par lui-même valeur démonstrative ? Doit-il trouver hors de lui, et notamment par des procédures de réduction à l’absurde auxquelles avaient recours les géomètres grecs, les preuves de la vérité de ses résultats ? Le cas échéant, n’est-il qu’un habillage symbolique de propositions fondées en réalité sur les axiomes de la géométrie ou de l’algèbre ? Cette question va nourrir les oppositions non triviales au calcul leibnizien auxquelles l’ouvrage donne toute leur place.
Pour déployer sa thèse, l’auteure procède naturellement selon un plan chronologique en trois parties : la première analyse cet horizon d’attente des savants regroupés autour de Malebranche et que l’on peut appeler, à la suite d’André Robinet, le « groupe malebranchiste », au moment où ils vont entrer directement en contact avec Jean Bernoulli ; la deuxième étudie la suite immédiate des leçons de ce dernier qui déboucheront sur la publication de l’Analyse des infiniment petits par le marquis de l’Hospital en 1696 ; la dernière partie restitue les discussions autour du calcul leibnizien à l’Académie des sciences et le dénouement de la crise déclenchée par les attaques de M. Rolle.
Un des principaux intérêts de la première partie est de montrer à quel point, y compris par de futurs opposants au calcul leibnizien proprement dit, des méthodes infinitistes étaient couramment pratiquées et variées en 1690. Toutes les conclusions tirées par l’auteure procèdent d’une étude détaillée de textes précis, toujours bien situés, et qui sont parfois constitués de manuscrits non publiés. Elle ne s’autorise aucune généralisation indue ; au contraire, elle nous rend sensible aux petites différences de méthodes, qui sont souvent signifiantes, et qui instruisent les diverses démonstrations proposées. L’horizon d’attente est d’abord constitué par l’espoir de parvenir à une méthode générale et praticable de détermination des tangentes : celle de Descartes évite « l’élision des homogènes », mais ne permet pas de traiter les courbes non algébriques et se trouve trop lourde dans bien des cas, celles de Fermat, Sluse, Huygens, Barrow ou l’Hospital reposent sur la quantité e qu’ils utilisent chacun différemment, mais qu’ils ont tous du mal à justifier pleinement. En ce qui concerne les calculs de quadratures, la question de la démonstration se pose à nouveau : quel statut accorder à la méthode des indivisibles ? Sous quelle forme peut-elle être considérée comme démonstrative par elle-même ? L’auteure rappelle que cette question avait déjà été traitée de manière différente par Roberval et par Pascal, et comment elle se pose à nouveau à propos de la méthode des transmutations de Barrow et l’arithmétique des infinis de Wallis. Tout en s’appropriant ces techniques, les mathématiciens proches du groupe malebranchiste, en particulier l’Hospital et Prestet, tenteront de les fonder sur des principes qui leur semblent plus assurés, sans toujours éviter les types de raisonnements auxquels ils avaient cherché à échapper. De son côté, Leibniz propose une quadrature du cercle par la voie des « métamorphoses » qui entend fournir une démonstration géométrique de l’arithmétique des infinis et conclure à l’exactitude des quadratures obtenues par cette voie au moyen de séries « à l’infini ». Il est lui-même à la recherche d’une méthode plus générale dont le calcul des quadratures ne serait qu’un cas particulier : il s’agit de pouvoir traiter tous les problèmes irréductibles à des expressions algébriques qu’il nomme transcendants, et qui imposent dès lors un nouveau calcul.
La deuxième partie de l’ouvrage porte donc sur l’écriture de l’Analyse des infiniment petits (1696) et en reconstitue la genèse en examinant la façon dont l’Hospital et Malebranche ont tenté d’interpréter les leçons de Jean Bernoulli. L’auteure expose clairement la manière dont la compréhension et l’admission des algorithmes et du symbolisme leibniziens se sont faites progressivement, et pour répondre au besoin de traiter des problèmes spécifiques liés à l’analyse des courbes : en déterminant les points singuliers d’une courbe (points d’inflexion, points de rebroussement) en particulier, le nouveau calcul semble légitimer l’admission des différentielles de premier ordre et des différentielles secondes, conduisant ipso facto à une nouvelle description de ces courbes à partir de ces éléments différentiels. Le succès du calcul, loin de mettre fin aux débats engendrés par les méthodes infinitésimales précédentes, en produit de nouveaux, comme le montre bien l’auteure : faut-il concevoir ces éléments différentiels comme des « incomparables », comme le dit parfois Leibniz lui-même, justifiant ainsi l’élimination de la quantité e des méthodes précédentes ? Faut-il se donner une nouvelle définition de l’égalité s’appliquant à deux quantités dont la différence est moindre qu’aucune grandeur donnée ? Peut-on systématiquement interpréter géométriquement les différentielles secondes et les « marquer » sur les figures de courbes ? Si Varignon, également occupé de son côté à maîtriser ces nouvelles techniques au début des années 1690, chercha à obtenir des réponses à ces questions auprès de Leibniz et Jean Bernoulli, c’est l’ouvrage de l’Hospital de 1696 qui entend offrir au calcul différentiel leibnizien son premier traité, en explicitant ses principes, ses règles et ses usages. S. Bella détaille alors clairement les choix opérés par son auteur, notamment à propos de la formulation des principes, rappelant en quoi le calcul différentiel ne prit forme qu’à la suite de confrontations de méthode, de stabilisation de certaines pratiques qui permirent progressivement d’en dégager un sens qui n’aurait pu s’imposer de lui-même aux différents acteurs qui en furent les inventeurs et les promoteurs.
Ceci nous conduit ainsi à la troisième partie de l’ouvrage restituant la réception académique du calcul leibnizien. L’auteure analyse alors clairement les forces en présence et le terrain sur lequel se situent réellement les discussions entre « géomètres » au sein de cette institution. Dans le camp des opposants, trois figures se détachent : Huygens, La Hire et Rolle. L’ouvrage montre bien en quoi les résistances de ces derniers au calcul leibnizien ne constituent pas une opposition unifiée, homogène et également durable : Huygens se laissera globalement convaincre par les arguments leibniziens, tandis que La Hire et Rolle semblent avoir maintenu jusqu’au bout leur distance à l’égard du calcul leibnizien. Mais les positions de ces deux derniers ne sont pas pour autant les mêmes : si ces deux académiciens doutent également de la fiabilité des algorithmes leibniziens et de leur valeur démonstrative, Rolle va plus loin en soupçonnant ces derniers de n’être qu’un travestissement des méthodes de Fermat et de Hudde, auxquelles elles n’auraient rien apporté de nouveau tout en s’appuyant sur des principes incertains. Tandis que La Hire entend poursuivre un programme géométrique, auquel il est du reste prêt à associer des méthodes infinitistes, Rolle plaide pour un perfectionnement de l’algèbre, en particulier dans le traitement des expressions incommensurables. Pour terminer, l’ouvrage retrace avec précision les étapes qui menèrent au dénouement de cette querelle assez bien connue, ainsi que les différents arguments employés par Varignon, Saurin, Guisnée et en définitive Fontenelle pour asseoir la légitimité du calcul leibnizien.
Il nous a été impossible de restituer toute la richesse des analyses de détail et des développements proposés par cette étude qui constitue un véritable outil de travail pour tout historien du calcul infinitésimal et une contribution tout à fait précieuse pour les études leibniziennes. Si l’ouvrage donne en effet la parole à chaque acteur de cette « intrigue » complexe, pour reprendre les termes de l’auteure, c’est bien Leibniz qui en constitue la figure dominante, et qui est à l’origine de ses principaux rebondissements.
Claire Schwartz
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Pour citer cet article : Sandra Bella, La (Re)construction française de l’analyse infinitésimale de Leibniz. 1690-1706, Paris, Classiques Garnier, 2022, 548 p., in Bulletin leibnizien IX, Archives de philosophie, tome 86/3, Juillet-Septembre 2023, p. 157-226.